Algebra Lineal¶

NumPy es una biblioteca popular en Python para el álgebra lineal, que es una rama de las matemáticas que se enfoca en el estudio de vectores, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. NumPy proporciona una gran cantidad de funciones y métodos para realizar operaciones de álgebra lineal de manera eficiente en Python.

Aquí hay algunos ejemplos de operaciones de álgebra lineal que se pueden realizar con NumPy:

• Vectores/Matrices especializadas

In [1]:

import numpy as np

import numpy as np

In [2]:

# Arreglo de ceros: np.zeros(shape)
print("Zeros:")
print( np.zeros((3,3)) )

# Arreglo de ceros: np.zeros(shape) print("Zeros:") print( np.zeros((3,3)) )

Zeros:
[[0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]
 [0. 0. 0.]]

In [3]:

# Arreglos de uno: np.ones(shape)
print("\nOnes:")
print( np.ones((3,3)) )

# Arreglos de uno: np.ones(shape) print("\nOnes:") print( np.ones((3,3)) )

Ones:
[[1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]
 [1. 1. 1.]]

In [4]:

# Arreglo vacio: np.empty(shape)
print("\nEmpty:")
print( np.empty([2, 2]) )

# Arreglo vacio: np.empty(shape) print("\nEmpty:") print( np.empty([2, 2]) )

Empty:
[[0.00000000e+000 1.07814025e-311]
 [1.07814025e-311 1.07814025e-311]]

In [5]:

# Rango de valores: np.range(start, stop, step)
print("\nRange:")
np.arange(0., 10., 1.)

# Rango de valores: np.range(start, stop, step) print("\nRange:") np.arange(0., 10., 1.)

Range:

Out[5]:

array([0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.])

In [6]:

# Grilla de valores: np.linspace(start, end, n_values)
print("\nRegular grid:")
print( np.linspace(0., 1., 9) )

# Grilla de valores: np.linspace(start, end, n_values) print("\nRegular grid:") print( np.linspace(0., 1., 9) )

Regular grid:
[0.    0.125 0.25  0.375 0.5   0.625 0.75  0.875 1.   ]

In [7]:

# fijar semilla
np.random.seed(42)

# Sequencia de valores aleatorios: np.random
print("\nRandom sequences:")
print( np.random.uniform(10, size=6) )

# fijar semilla np.random.seed(42) # Sequencia de valores aleatorios: np.random print("\nRandom sequences:") print( np.random.uniform(10, size=6) )

Random sequences:
[6.62913893 1.44357124 3.41205452 4.61207364 8.59583224 8.59604932]

• Operaciones con Matrices

In [8]:

# crear matrices

A = np.array([
    [1,2,3],
    [4,5,6],
    [7,8,9]
])

B = np.array([
    [9,8,7],
    [6,5,4],
    [3,2,1]]
)

print(f"Matrix A: \n {A}\n")
print(f"Matrix B: \n {B}")

# crear matrices A = np.array([ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9] ]) B = np.array([ [9,8,7], [6,5,4], [3,2,1]] ) print(f"Matrix A: \n {A}\n") print(f"Matrix B: \n {B}")

Matrix A: 
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]

Matrix B: 
 [[9 8 7]
 [6 5 4]
 [3 2 1]]

In [9]:

# sumar dos matrices
print("Sum:")
print( A+B )

# sumar dos matrices print("Sum:") print( A+B )

Sum:
[[10 10 10]
 [10 10 10]
 [10 10 10]]

In [10]:

# restar dos matrices
print("\nSubtraction")
print( A-B )

# restar dos matrices print("\nSubtraction") print( A-B )

Subtraction
[[-8 -6 -4]
 [-2  0  2]
 [ 4  6  8]]

In [11]:

# producto uno a uno
print("\nProduct")
print( A*B )

# producto uno a uno print("\nProduct") print( A*B )

Product
[[ 9 16 21]
 [24 25 24]
 [21 16  9]]

In [12]:

# producto matricial
print("\nMatricial Product")
print( np.dot(A,B) )

# producto matricial print("\nMatricial Product") print( np.dot(A,B) )

Matricial Product
[[ 30  24  18]
 [ 84  69  54]
 [138 114  90]]

In [13]:

# potencia
print("\n Power")
print( A**2 )

# potencia print("\n Power") print( A**2 )

 Power
[[ 1  4  9]
 [16 25 36]
 [49 64 81]]

• Algunas funciones especiales:

In [14]:

# crear matriz
A = np.array([
    [1,2,3],
    [4,5,6],
    [7,8,9]
])

# crear matriz A = np.array([ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9] ])

In [15]:

print("funcion exponencial")
print( np.exp(A) )

print("funcion exponencial") print( np.exp(A) )

funcion exponencial
[[2.71828183e+00 7.38905610e+00 2.00855369e+01]
 [5.45981500e+01 1.48413159e+02 4.03428793e+02]
 [1.09663316e+03 2.98095799e+03 8.10308393e+03]]

In [16]:

print("funcion seno")
print( np.sin(A) )

print("funcion seno") print( np.sin(A) )

funcion seno
[[ 0.84147098  0.90929743  0.14112001]
 [-0.7568025  -0.95892427 -0.2794155 ]
 [ 0.6569866   0.98935825  0.41211849]]

In [17]:

print("funcion coseno")
print( np.cos(A))

print("funcion coseno") print( np.cos(A))

funcion coseno
[[ 0.54030231 -0.41614684 -0.9899925 ]
 [-0.65364362  0.28366219  0.96017029]
 [ 0.75390225 -0.14550003 -0.91113026]]

In [18]:

print("funcion tangente")
print( np.tan(A) )

print("funcion tangente") print( np.tan(A) )

funcion tangente
[[ 1.55740772 -2.18503986 -0.14254654]
 [ 1.15782128 -3.38051501 -0.29100619]
 [ 0.87144798 -6.79971146 -0.45231566]]

• Operaciones álgebra líneal:

In [19]:

# crear matriz
A = np.array([[1,2],
              [3,4]])

# crear matriz A = np.array([[1,2], [3,4]])

In [20]:

# matriz transpuesta
print("Transpose: ")
print( A.T )

# matriz transpuesta print("Transpose: ") print( A.T )

Transpose: 
[[1 3]
 [2 4]]

In [21]:

# determinante
print("determinant")
print( round(np.linalg.det(A) ,2))

# determinante print("determinant") print( round(np.linalg.det(A) ,2))

determinant
-2.0

In [22]:

# Matriz Inversa
print("Inverse")
print( np.linalg.inv(A) )

# Matriz Inversa print("Inverse") print( np.linalg.inv(A) )

Inverse
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]

In [23]:

# traza
print("Trace")
print( np.trace(A))

# traza print("Trace") print( np.trace(A))

Trace
5

In [24]:

# Valores y vectores propios
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A) 

print("eigenvalues")
print( eigenvalues )
print("\neigenvectors")
print( eigenvectors )

# Valores y vectores propios eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A) print("eigenvalues") print( eigenvalues ) print("\neigenvectors") print( eigenvectors )

eigenvalues
[-0.37228132  5.37228132]

eigenvectors
[[-0.82456484 -0.41597356]
 [ 0.56576746 -0.90937671]]

In [25]:

# descomposicion QR
Q,R = np.linalg.qr(A)

print("QR decomposition:")
print("\nQ")
print( Q )
print("\nR")
print( R )

# descomposicion QR Q,R = np.linalg.qr(A) print("QR decomposition:") print("\nQ") print( Q ) print("\nR") print( R )

QR decomposition:

Q
[[-0.31622777 -0.9486833 ]
 [-0.9486833   0.31622777]]

R
[[-3.16227766 -4.42718872]
 [ 0.         -0.63245553]]

• Resolver sitema de ecuaciones:

In [26]:

# crear matriz
A = np.array([[1,2],
              [3,4]])

# sistemas lineales: Ax = b
b = np.array([[5.], [7.]])

# crear matriz A = np.array([[1,2], [3,4]]) # sistemas lineales: Ax = b b = np.array([[5.], [7.]])

In [27]:

print("linear system: Ax=b")
print("\nx = ")
print( np.linalg.solve(A, b) )

print("linear system: Ax=b") print("\nx = ") print( np.linalg.solve(A, b) )

linear system: Ax=b

x = 
[[-3.]
 [ 4.]]